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中國古代的回文詩 花環數或回文數

中國古代的回文詩 花環數或回文數
中國古代回文詩

賞花歸去馬如飛,

去馬如飛酒力微;

酒力微醒時已暮,

醒時已暮賞花歸。

十二世紀某個夏日,大詩人蘇東坡陪妹妹遊杭州西湖,寫下了這首回文詩。「回文」是指正讀反讀都讀得通的句子,是古今中外都有的一種修辭方式和文字遊戲,例如「我為人人,人人為我」。英文例如「Race car」,「Step on no pets」,「Put it up」,「Was it a car or a cat I saw?」,「A man, a plan, a canal, Panama!」西班牙文裡亦有,如「Amor Roma」。

有趣的是,數學也有一種叫回文數的遊戲。

中國古代的回文詩 花環數或回文數
雪赫拉莎德

大約在西元八五○年,印度數學家馬哈威拉撰寫了《計算精華》(Gania sara sarragraha)一書,在南印度被廣泛使用。一九一二年,這本書被譯成英文在馬德拉斯出版,成為印度第一部初具現代形式的教科書。書中提到了「花環數」,即將兩整數相乘,使其乘積的數字呈中心對稱,也被稱為「回文數」。馬哈威拉找到了一些回文數,例如

14287143×7=100010001

12345679×9=111111111

27994681×441=12345654321

之所以稱之為花環數,估計與印度人愛花,而且花環無頭無尾且對稱有關。回文數的英文是「palindromic number」,阿拉伯人稱其為雪赫拉莎德數,即以《一千零一夜》裡那位很會講故事的王妃雪赫拉莎德(Scheherazade)命名。事實上,1001(=143×7)本身便是一個花環數。

方冪數裡也有許多花環數,例如 112=121,73=343,114=14641。迄今為止,人們尚未找到五次或更高次冪的回文數,於是有了以下猜想。

猜想 不存在形如 nk (n≧2,k≧5)的回文數。

值得一提的是,四位和六位回文數有一個特點,它絕不可能是質數。例如,設其為abba,它等於 1000a+100b+10b+a=1001a+110b,能被11整除。

一個回文數如果同時也是某個數的平方,就叫作平方回文數。在1000以內的正整數裡,有一百零八個回文數,但平方回文數只有六個,即 1、4、9、121、484、676;考慮到 1000 以內的平方數只有三十一個,回文數的比例其實是比較高的。有些數透過(不斷)與自身倒數相加,也可得到回文數。例如,29+92=121;再例如,194+491=685,586+685=1271,1271+1721=2992。於是就有了以下問題。

問題  是否任何一個正整數與它的倒數相加,所得的和再與和的倒數相加⋯⋯如此反覆,經過有限次數後,最後必定可以得到一個回文數?

必須指出,有些數尚未發現有此特徵,例如 196。在電腦尚未問世的一九三八年,美國數學家萊默已手動計算到了第七十三步。二○○六年,電腦已計算到第六百九十九萬步,並得到一個 2.89 億位的和數。到了二○一五年,這個和數已高達 10 億位,但仍未得到回文數。我們既無法確定繼續運算下去能否得到回文數,也不知道需要再運算多少步才能得到回文數。

永遠得不到回文數的正整數被稱為「利克瑞爾數」(Lychrel number),196 可能是最小的利克瑞爾數,因此特別受關注。說起這個名字,它的來歷也很有趣,是其發明者范蘭丁厄姆(Wade Van Landingham)將他當時女友的英文名 Cheryl 經過簡單調動字母順序而來。

不難看出,假如 196 或其他數是利克瑞爾數,那麼它後面的那些和數都是。也就是說,只要有一個利克瑞爾數,就有無窮多個利克瑞爾數。另外,還有一項關於「回文數」計算次數的世界紀錄。它是一個十九位的數字 1186060307891929990,算出它的「回文數」用了二百六十一步,是在二○○五年十一月三十日完成的。

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關鍵字: 回文花環英文整數十一
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