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一筆畫能寫出「田」字嗎?——歐拉與柯尼斯堡七橋問題

一筆畫能寫出「田」字嗎?——歐拉與柯尼斯堡七橋問題
一筆畫能寫出「田」字嗎?——歐拉與柯尼斯堡七橋問題

只用一筆畫,既不離開紙面,也不重複,能寫出「田」字嗎?這實際上是十八世紀一個經典的數學問題:柯尼斯堡七橋問題。

一、柯尼斯堡七橋問題

在普魯士的柯尼斯堡(今俄羅斯加里寧格勒州)有一個公園,裡面有七座橋將普列戈利亞河中的兩個島嶼與河岸連接起來。

1736年,當地居民舉辦了一項有意思的健身活動:一次走過七座橋,每座橋只能經過一次,而且起點與終點必須是同一座橋。

有許多人進行嘗試,但是都失敗了。

二、歐拉的「一筆畫」

當時世界上最偉大的數學家歐拉剛好在這裡,他敏銳地發現這裡蘊藏著深刻的數學內涵,並把它稱為「一筆畫問題」。

圖說:能過橋的不是米線,是數學。

歐拉把七座橋畫成七條線段,並把問題轉化為是否可以透過一筆畫將這個圖形畫出來。經過思考,歐拉認為這是不可能的。不僅如此,歐拉還得出了哪些圖形可以一筆畫,哪些不能一筆畫的條件。

首先,歐拉把圖形中的點分為兩種:如果過該點的線段有偶數條,就稱為「偶點」;如果過該點的線段有奇數條,就稱為「奇點」。例如下面圖形中圓圈的點就是偶點,三角形的點就是奇點。

歐拉指出:如果一個圖形可以一筆畫成,那麼它的奇點個數一定是0個或2個。

如果奇點個數是0個,起點和終點就是同一個點,從圖形中任何一點出發都可以一筆畫,例如上圖左就是這樣。

如果奇點個數是2個,那麼只能從一個奇點出發,畫到另一個奇點,才能將圖形畫出來,這就是上圖右的情況。

理解這個問題其實並不難,因為:

如果一個點既不是起點,也不是終點,那麼線段經過該點時必然會一進一出、成對出現,一定是偶點。

如果一個點既是起點,又是終點,那麼該點有一條出發線段和一條結束線段,也是偶點。

如果這個點只是出發點,或者只是結束點,這樣才可能是奇點。

所以,如果從一點出發,一筆畫回到這個點,圖形中就不會有奇點;如果從一點出發,一筆畫到另一點,圖形中就會有兩個奇點。

例如,我們來看看「日」是否能一筆畫。

由於日字腰上的兩個點有三條線段,因此是奇點,其餘點都有兩條線段,是偶點。因此日字可以一筆畫,而且必須從腰上的一點出發到另一點結束。按照圖中1、2、3、4、5、6、7的順序,就能畫出來了。

我們再來看看柯尼斯堡七橋問題。

在這個圖形中,過A、C或D各有三條線段,是奇點;過B有五條線段,也是奇點。圖中有四個奇點,因此上圖是不能一筆畫的。

說了這麼多,讀者是不是可以看看「田」字中有幾個奇點?能不能一筆畫成呢?

三、天才歐拉

歐拉向聖彼德堡科學院提交《柯尼斯堡的七座橋》的論文時年僅二十九歲,在解答問題的同時,他開創了數學的一個新的分支——圖論與幾何拓撲。

歐拉是一個天才,在數學史上的地位與牛頓在物理學史上的地位一樣偉大,我們在研究數學時會經常看到歐拉公式、歐拉定理、歐拉函數。十三歲進入大學學習,十六歲就獲得碩士學位。二十八歲時因為生病,歐拉的右眼失明了。晚年時,左眼也失明。但即使在雙目失明的情況下,歐拉依然憑藉心算解決了許多數學問題。

圖說:二十九歲天才少年!

他不光是數學史上里程碑式的人物,同時也是一位物理學家,為物理學的發展鋪平了數學的道路。他一生中寫出了八百八十六本書籍和論文,聖彼德堡科學院為了整理他的著作,足足忙了四十七年。

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關鍵字: 奇點筆畫如果問題線段
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